10 之內的質數有 4 個:2, 3, 5, 7。
100 之內的質數有 23 個,100 之上當然還有很多質數,究竟質數有多少個?最大的質數是甚麼?
古希臘數學家歐幾里德用一個簡潔而漂亮的反證法,證明了質數有無限多個。
他首先假設質數的數量是有限的,姑且說這批質數就是 p1, p2, p3, ..., pn
,其餘數字都是合成數,歐幾里德跟着計算以下數字:
N = p1 x p2 x p3 x ...... x pn + 1
這個 N
比任何一個已知的質數都大,所以一定是一個合成數,即是說 N
一定可以被至少一個質數整除,但是 N
不論除以 p1
, p2
, ……. 乃至 pn
,都得到餘數 1,換句話說,N
不能被任何一個已知的質數整除。N
既不能是質數(因為它比所有已知的質數都大),也不能是合成數(因為沒有一個質數能整除它),這時唯一的解釋,是開首的假設,即「質數的數量是有限的」有錯,結論是質數是無限的。
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